نقش دانشمندان مسلمان در رشد جَبر

خوارزمی با وارد کردن جبر در ریاضیات، دورۀ درخشان تاریخ ریاضی را آغاز کرد. پی بردن به اهمیت این اندیشۀ نوین او اهمیت بسیار دارد. در واقع جبر، در اندیشه های ریاضی یونانی که بر پایۀ هندسه استوار بودند، حرکتی انقلابی ایجاد کرد.

جبر تئوری وحدت بخشی بود که اعدادگویا، اعداد_گنگ و اندازه های هندسی را به هم پیوند می داد، به ریاضیات بُعد کاملاً جدیدی می بخشید و مسیری برای پیشرفت و ایجاد مفاهیم گسترده تر ایجاد می کرد. یکی دیگر از فواید مهم ورود اندیشه های جبری به ریاضیات، به وجود آمدن روشی تازه در این علم بود؛ روشی که تا آن زمان وجود نداشت. بعدها پرچم جبر به دست یکی از شاگردان خوارزمی، به نام کرجی افتاد. بسیاری معتقدند که او جبر را برای نخستین بار به طور کامل از عملیات هندسی آزاد ساخت و عملیات حسابی را که امروزه مرکز جبر به شمار می رود جانشین آن کرد. او مدرسۀ جبر را که چند صد سال شکوفا بود، بنیان نهاد. دویست سال پس از کرجی، ابونصر سموئل بن یحیی مغربی، دانشمند سدۀ ششم هجری، که یکی از شاگردان مهم مدرسه او به حساب می آید، برای نخستین بار جبر را چنین توصیف می کند: «… عملیاتی روی مجهولات با استفاده از ابزارهای حساب، به همان روشی که در عملیات حساب روی معلومات انجام می شود».

دومین کسی که در پیشبرد جبر سهم بسزایی داشته، عمر خیام شاعر و حکیم نیشابوری است. وی رده بندی کاملی از معادلات درجه سوم با راه حل های هندسی از طریق مقاطع مخروطی ایجاد کرد. خیام که امیدوار بود توصیف کاملی از راه حل های معادلات درجۀ سوم به دست دهد، می گفت: «اگر بخت با من یار باشد و بتوانم موفق شوم، همۀ این چهارده شکل را با تمامی شاخه ها و حالت ها و تفاوت های محتمل و نا محتمل در تحقیقی شامل عناصری که در این هنر مفیدند، نشان خواهم داد».

در سال های میانی سدۀ ششم هجری، هنگامی که سموئل در مدرسۀ کرجی به تحصیل اشتغال داشت، شرف الدین طوسی راه خیام را در کاربرد جبر در هندسه ادامه می داد. او رساله ای در معادلات درجۀ سوم نوشت و در آن گفت که جبر: در رشته های دیگری که می خواهند با استفاده از معادلات به بررسی #منحنی ها بپردازند، سهمی اساسی داد و بدین رتیب، هندسۀ جبری را به وجود آورد.
جبر فقط یکی از زمینه هایی بود که ریاضی دانان مسلمان در پیشرفت آن  سهم داشتند.

در سدۀ سوم هجری، در دارالحکمة بغداد سه برادر به نام برادران بنوموسی گردآمده بودند. آنان ریاضیدان تیزهوشی بوده اند و یکی از دانشجویانشان به نام ثابت ابن قره متولد سال 222ه.ق. در پیشبرد نظریۀ اعداد و قضیۀ جالب پیداکردن جفت عددهای متحابه (عدد های دوست) شهرت دارد. اعداد متحابه اعدادی هستند که مجموع مقسوم علیه های هریک از آنها با دیگری برابر است.

اعداد متحابه در ریاضیات اسلامی نقش مهمی دارند. کمال الدین فارسی در قرن هفتم هجری قضیۀ ابن قرّه را گسترش داد و اندیشه های مهمی در رابطه با روش های تجزیه ( فاکتورگیری) و ترکیب به آن وارد کرد. او همچنین جفت عددهای متحابه 17296 و 18416 را که اویلر_سوییسی ( Euler)، متفکر قرن هجدهم میلادی، نسبت داده شده است، کشف کرد. سال ها پیش از اویلر، ریاضیدان مسلمان دیگری به نام محمدباقر یزدی در قرن یازدهم هجری جفت های 9363584 و 9437056 را به اعداد متحابه افزوده بود.

برتری ریاضیدانان مسلمان در قرن چهارم هجری نیز ادامه یافت. در این دوره، ابن_هیثم نخستین کسی بود که کوشید اعداد کامل زوج (عددهایی که با مجموع مقسوم علیه های کوچک تر از خود برابرند) را رده بندی کند. همچنین او به عنوان نخستین کسی شناخته می شود که قضیۀ ویلسون را بیان کرده است: «اگر عدد P اول باشد، آن گاه 1-(p-1)! برp قابل قسمت است».